Євген Чумак народився в Глухівцях, що на Вінничині. У віці 6 років батько відвіз Євгена до Києва, де той почав займатися футболом у ДЮФШ «Динамо» під керівництвом Олександра Шпакова. Після кількох років виступів у нападі, тренери вирішили перевести Чумака на позицію флангового півзахисника, а у віці 14 років відрядили його ближче до центра поля. За декілька років до випуску з академії Євген перейшов до лав столичного РВУФК, де тренувався під керівництвом Олександра Калини та Дмитра Семчука.

У 2012 році Чумак повернувся до системи київського «Динамо», ставши одним з ключових гравців юнацької команди Валентина Белькевича, що здобула золоті нагороди першості України серед гравців віком до 19 років. Того ж року Євгена почали залучати і до матчів юнацької збірної України та поєдинків за молодіжну команду «Динамо». Протягом наступного сезону він став одним з ключових гравців динамівського дубля та разом з партнерами по збірній взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи 2014 року, що відбувся в Угорщині. Українська команда не змогла вийти з групи, програвши лише майбутнім тріумфаторам змагань — німцям, а сам Чумак з’являвся на полі в усіх трьох поєдинках збірної, занісши до свого пасиву одну жовту картку.

26 лютого 2015 року Євген Чумак дебютував у складі першої команди «Динамо», і відразу в єврокубковому матчі – з’явився на полі у матчі Ліги Європи 2014/15 проти французького «Генгама». 1 березня того ж року він дебютував у складі команди в розіграші української Прем’єр-ліги, відзначившись забитим м’ячем у ворота харківського «Металіста» вже через 10 хвилин після появи на полі.

На початку сезону 2015/16 перейшов на орендних засадах до лав ужгородської «Говерли», але згодом опинився в лавах білоруського клубу «Торпедо-БелАЗ». У липні того ж року на умовах оренди став гравцем кропивницької «Зірки». 15 вересня 2016 року офіційно став гравцем львівських «Карпат», підписавши дворічний контракт, але вже взимку 2016/17 залишив команду за обопільною згодою.

2 березня 2018 року Євген Чумак підписав контракт з чернігівською «Десною».