Андрій Вікторович Слінкін народився 19 лютого 1991 року в Одесі. У дитячо-юнацькій футбольній лізі України Андрій грав у складі місцевих юнацьких команд та шкіл («Укрпошта», «Юнга-Чорне море» і «ДЮСШ-11 Чорноморець»). З літа 2008 року виступав у молодіжному складі одеського «Чорноморця», основна команда якого на той час грала у найвищому дивізіоні чемпіонату України — прем’єр-лізі. Після того як «Чорноморець» влітку 2010 року вилетів до першої ліги чемпіонату і втратив право грати в молодіжному чемпіонаті, Слінкін був заявлений за новостворений фарм-клуб, «Чорноморець-2», що виступав у другій лізі. Там Слінкін став основним гравцем команди, зігравши у 16 з 22 матчах чемпіонату протягом сезону та забивши 6 м’ячів.

28207731_1534446453338056_319873087_oУ складі основної команди дебютував 18 серпня 2010 року в матчі Кубка України проти хмельницького «Динамо». Влітку 2011 року, коли «моряки» повернулися до прем’єр-ліги повернувся до основної команди, але знову здебільшого грав за молодіжну команду, а 17 липня 2011 року дебютував у Прем’єр-лізі у грі проти львівських «Карпатах» 1:1, відігравши весь матч.

Влітку 2012 року на правах оренди до кінця року перейшов у ФК «Суми», які тільки вийшли до першої ліги. Там же Андрій відіграв 12 матчів у чемпіонаті та 1 у кубку України. В кінці року повернувся до одеського клубу, де продовжив грати за дублюючий склад та один раз вийшов на заміну у Суперкубку України.

На початку 2014 року Андрій на правах оренди перейшов грати до складу словацького футбольного клубу «Сениця», що грав тоді у вищому дивізіоні Словаччини, Цоргонь лізі. Контракт розраховано на чотири місяці з можливістю продовження до грудня того ж року. Ще до того як підписати контракт Слінкін відіграв у складі словацького клубу у товариському матчі проти краснодарської «Кубані», який завершився перемогою «козаків» з рахунком 2:0. Всього до кінця сезону зіграв 12 матчів в чемпіонаті Словаччини, після чого повернувся в Одесу. Із сезону 2014/15 став стабільніше залучатись до основної команди, а в сезоні 2015/16 став основним лівим захисником «Чорноморця».

У січні 2016 року став гравцем молдовського клубу «Заря» на умовах оренди до кінця сезону. У червні того ж року став гравцем кишинівської «Дачії», але вже у грудні 2016 року залишив молдовську команду, повернувшись до лав клубу «Заря». 19 лютого 2018 року підписав трирічну угоду з чернігівською «Десною».